אלגברת בנך

במתמטיקה, אלגברת בנך היא מרחב בנך שהוא גם אלגברה (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך $(X,+,\|\cdot \|)$ יחד עם העתקה ביליניארית $(x,y)\mapsto x\cdot y$ נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:

1. $(X,+,\cdot )$ הוא אלגברה אסוציאטיבית.
2. לכל שני איברים באלגברה מתקיים $\|x\cdot y\|\leq \|x\|\|y\|$.

אלגבראות בנך קרויות על שמו של סטפן בנך.

דוגמאות

1. המספרים הממשיים, כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, המספרים המרוכבים הם אלגברת בנך מעל עצמם.
2. המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
3. אלגברת המטריצות מסדר $n\times n$ היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
4. אלגברת הקווטרניונים היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
5. אוסף כל הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי קומפקטי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
6. אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.

תכונות

1. אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר $x$ באלגברת בנך ניתן להגדיר את הספקטרום של $x$ כאוסף כל הסקלרים $\lambda$ כך ש $x-\lambda 1$ איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
2. באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר $x$ ולכל פונקציה הולומורפית $f$ שמוגדרת על הספקטרום של $x$, ניתן להגדיר את $\ f(x)$

קישורים חיצוניים

• אלגברת בנך, באתר MathWorld (באנגלית)